階乗 $\mod p$
(modulo/factorial.hpp)

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• Last update: 2023-08-31 20:44:07+09:00
• Include: #include "modulo/factorial.hpp"

階乗 $\mod p$

$n! \mod p$を$\mathrm{O}(\sqrt{p} \log p)$で計算するライブラリ。

アルゴリズム

min_25氏の記事(削除済み)を大きく参考にしました。

$v \geq \sqrt{p}$である$v$に対して$G_d(i)$を次のように定める。

• $g_d(x) \equiv (x+1)(x+2)\ldots (x+d) \mod p$を$x=i,v+i\ldots,dv+i$で多点評価した値の組

この時$G_d(0)$の$i$番目の要素$G_d(0)_i$は$(vi+1)(vi+2)\ldots(vi+d) \mod p$になる。ここで、$d = v\geq \sqrt{p}$であるとき、

\(n! \equiv \left(\prod_{0 \leq i \lt \lfloor\frac{n}{v}\rfloor} G_v(0)_i \right) \cdot \prod _ { \lfloor\frac{n}{v}\rfloor \cdot v \lt i \leq n} i\pmod p\) になることが容易に確認できる。右辺の第2項は$\mathrm{O}(\sqrt{p})$で計算できるので、$G_v(0)$を高速に計算するアルゴリズムを見つければよい。

$G_v(0)$の計算は$G_d(0)$から$G_{2d}(0)$を$\mathrm{O}(d \log d)$で計算するアルゴリズムを利用する。これを利用すればダブリングの要領で$G_v(0)$を$\mathrm{O}(v \log v)=\mathrm{O}(\sqrt{p} \log p)$で計算できる。

アルゴリズムの内容は上に示したブログで詳述されているので概要のみまとめる。$g_{2d}(x) = g_d(x) g_d(x + d)$を利用すると、

• $G_{2d}(0)$の前$d + 1$項$\cdots$ $G_d(0) \ast G_d(d)$ ($\ast$はアダマール積)
• 残りの部分 $\cdots$ $G_d(dv + v) \ast G_d(dv + v + d)$の前$d$項

となるので、$G_d(d), G_d(dv + d), G_d(dv + v + d)$を標本点のシフトを利用して計算すればよい。

ここでは簡単のため$v$を固定した実装にしているが、$p$の値によっては$v = 32768$が不適切になることに注意する必要がある。

Depends on

• 多項式/形式的冪級数ライブラリ (fps/formal-power-series.hpp)
• fps/sample-point-shift.hpp
• modulo/binomial.hpp

Verified with

• verify/verify-yosupo-fps/yosupo-factorial.test.cpp
• verify/verify-yuki/yuki-0502.test.cpp

Code

#pragma once

#include "../fps/formal-power-series.hpp"
#include "../fps/sample-point-shift.hpp"

template <typename mint>
mint factorial(int n) {
  if (n <= 1) return 1;
  using fps = FormalPowerSeries<mint>;
  long long v = 1;
  while(v * v < n) v *= 2;
  mint iv = mint(v).inverse();
  fps G{1, v + 1};
  for (long long d = 1; d != v; d <<= 1) {
    fps G1 = SamplePointShift(G, mint(d) * iv);
    fps G2 = SamplePointShift(G, mint(d * v + v) * iv);
    fps G3 = SamplePointShift(G, mint(d * v + d + v) * iv);
    for (int i = 0; i <= d; i++) G[i] *= G1[i], G2[i] *= G3[i];
    copy(begin(G2), end(G2) - 1, back_inserter(G));
  }
  mint res = 1;
  long long i = 0;
  while (i + v <= n) res *= G[i / v], i += v;
  while (i < n) res *= ++i;
  return res;
}

/**
 * @brief 階乗 $\mod p$
 * @docs docs/modulo/factorial.md
 */

#line 2 "modulo/factorial.hpp"

#line 2 "fps/formal-power-series.hpp"

template <typename mint>
struct FormalPowerSeries : vector<mint> {
  using vector<mint>::vector;
  using FPS = FormalPowerSeries;

  FPS &operator+=(const FPS &r) {
    if (r.size() > this->size()) this->resize(r.size());
    for (int i = 0; i < (int)r.size(); i++) (*this)[i] += r[i];
    return *this;
  }

  FPS &operator+=(const mint &r) {
    if (this->empty()) this->resize(1);
    (*this)[0] += r;
    return *this;
  }

  FPS &operator-=(const FPS &r) {
    if (r.size() > this->size()) this->resize(r.size());
    for (int i = 0; i < (int)r.size(); i++) (*this)[i] -= r[i];
    return *this;
  }

  FPS &operator-=(const mint &r) {
    if (this->empty()) this->resize(1);
    (*this)[0] -= r;
    return *this;
  }

  FPS &operator*=(const mint &v) {
    for (int k = 0; k < (int)this->size(); k++) (*this)[k] *= v;
    return *this;
  }

  FPS &operator/=(const FPS &r) {
    if (this->size() < r.size()) {
      this->clear();
      return *this;
    }
    int n = this->size() - r.size() + 1;
    if ((int)r.size() <= 64) {
      FPS f(*this), g(r);
      g.shrink();
      mint coeff = g.back().inverse();
      for (auto &x : g) x *= coeff;
      int deg = (int)f.size() - (int)g.size() + 1;
      int gs = g.size();
      FPS quo(deg);
      for (int i = deg - 1; i >= 0; i--) {
        quo[i] = f[i + gs - 1];
        for (int j = 0; j < gs; j++) f[i + j] -= quo[i] * g[j];
      }
      *this = quo * coeff;
      this->resize(n, mint(0));
      return *this;
    }
    return *this = ((*this).rev().pre(n) * r.rev().inv(n)).pre(n).rev();
  }

  FPS &operator%=(const FPS &r) {
    *this -= *this / r * r;
    shrink();
    return *this;
  }

  FPS operator+(const FPS &r) const { return FPS(*this) += r; }
  FPS operator+(const mint &v) const { return FPS(*this) += v; }
  FPS operator-(const FPS &r) const { return FPS(*this) -= r; }
  FPS operator-(const mint &v) const { return FPS(*this) -= v; }
  FPS operator*(const FPS &r) const { return FPS(*this) *= r; }
  FPS operator*(const mint &v) const { return FPS(*this) *= v; }
  FPS operator/(const FPS &r) const { return FPS(*this) /= r; }
  FPS operator%(const FPS &r) const { return FPS(*this) %= r; }
  FPS operator-() const {
    FPS ret(this->size());
    for (int i = 0; i < (int)this->size(); i++) ret[i] = -(*this)[i];
    return ret;
  }

  void shrink() {
    while (this->size() && this->back() == mint(0)) this->pop_back();
  }

  FPS rev() const {
    FPS ret(*this);
    reverse(begin(ret), end(ret));
    return ret;
  }

  FPS dot(FPS r) const {
    FPS ret(min(this->size(), r.size()));
    for (int i = 0; i < (int)ret.size(); i++) ret[i] = (*this)[i] * r[i];
    return ret;
  }

  // 前 sz 項を取ってくる。sz に足りない項は 0 埋めする
  FPS pre(int sz) const {
    FPS ret(begin(*this), begin(*this) + min((int)this->size(), sz));
    if ((int)ret.size() < sz) ret.resize(sz);
    return ret;
  }

  FPS operator>>(int sz) const {
    if ((int)this->size() <= sz) return {};
    FPS ret(*this);
    ret.erase(ret.begin(), ret.begin() + sz);
    return ret;
  }

  FPS operator<<(int sz) const {
    FPS ret(*this);
    ret.insert(ret.begin(), sz, mint(0));
    return ret;
  }

  FPS diff() const {
    const int n = (int)this->size();
    FPS ret(max(0, n - 1));
    mint one(1), coeff(1);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      ret[i - 1] = (*this)[i] * coeff;
      coeff += one;
    }
    return ret;
  }

  FPS integral() const {
    const int n = (int)this->size();
    FPS ret(n + 1);
    ret[0] = mint(0);
    if (n > 0) ret[1] = mint(1);
    auto mod = mint::get_mod();
    for (int i = 2; i <= n; i++) ret[i] = (-ret[mod % i]) * (mod / i);
    for (int i = 0; i < n; i++) ret[i + 1] *= (*this)[i];
    return ret;
  }

  mint eval(mint x) const {
    mint r = 0, w = 1;
    for (auto &v : *this) r += w * v, w *= x;
    return r;
  }

  FPS log(int deg = -1) const {
    assert(!(*this).empty() && (*this)[0] == mint(1));
    if (deg == -1) deg = (int)this->size();
    return (this->diff() * this->inv(deg)).pre(deg - 1).integral();
  }

  FPS pow(int64_t k, int deg = -1) const {
    const int n = (int)this->size();
    if (deg == -1) deg = n;
    if (k == 0) {
      FPS ret(deg);
      if (deg) ret[0] = 1;
      return ret;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      if ((*this)[i] != mint(0)) {
        mint rev = mint(1) / (*this)[i];
        FPS ret = (((*this * rev) >> i).log(deg) * k).exp(deg);
        ret *= (*this)[i].pow(k);
        ret = (ret << (i * k)).pre(deg);
        if ((int)ret.size() < deg) ret.resize(deg, mint(0));
        return ret;
      }
      if (__int128_t(i + 1) * k >= deg) return FPS(deg, mint(0));
    }
    return FPS(deg, mint(0));
  }

  static void *ntt_ptr;
  static void set_fft();
  FPS &operator*=(const FPS &r);
  void ntt();
  void intt();
  void ntt_doubling();
  static int ntt_pr();
  FPS inv(int deg = -1) const;
  FPS exp(int deg = -1) const;
};
template <typename mint>
void *FormalPowerSeries<mint>::ntt_ptr = nullptr;

/**
 * @brief 多項式/形式的冪級数ライブラリ
 * @docs docs/fps/formal-power-series.md
 */
#line 2 "fps/sample-point-shift.hpp"

#line 2 "modulo/binomial.hpp"

#include <cassert>
#include <type_traits>
#include <vector>
using namespace std;

// コンストラクタの MAX に 「C(n, r) や fac(n) でクエリを投げる最大の n 」
// を入れると倍速くらいになる
// mod を超えて前計算して 0 割りを踏むバグは対策済み
template <typename T>
struct Binomial {
  vector<T> f, g, h;
  Binomial(int MAX = 0) {
    assert(T::get_mod() != 0 && "Binomial<mint>()");
    f.resize(1, T{1});
    g.resize(1, T{1});
    h.resize(1, T{1});
    if (MAX > 0) extend(MAX + 1);
  }

  void extend(int m = -1) {
    int n = f.size();
    if (m == -1) m = n * 2;
    m = min<int>(m, T::get_mod());
    if (n >= m) return;
    f.resize(m);
    g.resize(m);
    h.resize(m);
    for (int i = n; i < m; i++) f[i] = f[i - 1] * T(i);
    g[m - 1] = f[m - 1].inverse();
    h[m - 1] = g[m - 1] * f[m - 2];
    for (int i = m - 2; i >= n; i--) {
      g[i] = g[i + 1] * T(i + 1);
      h[i] = g[i] * f[i - 1];
    }
  }

  T fac(int i) {
    if (i < 0) return T(0);
    while (i >= (int)f.size()) extend();
    return f[i];
  }

  T finv(int i) {
    if (i < 0) return T(0);
    while (i >= (int)g.size()) extend();
    return g[i];
  }

  T inv(int i) {
    if (i < 0) return -inv(-i);
    while (i >= (int)h.size()) extend();
    return h[i];
  }

  T C(int n, int r) {
    if (n < 0 || n < r || r < 0) return T(0);
    return fac(n) * finv(n - r) * finv(r);
  }

  inline T operator()(int n, int r) { return C(n, r); }

  template <typename I>
  T multinomial(const vector<I>& r) {
    static_assert(is_integral<I>::value == true);
    int n = 0;
    for (auto& x : r) {
      if (x < 0) return T(0);
      n += x;
    }
    T res = fac(n);
    for (auto& x : r) res *= finv(x);
    return res;
  }

  template <typename I>
  T operator()(const vector<I>& r) {
    return multinomial(r);
  }

  T C_naive(int n, int r) {
    if (n < 0 || n < r || r < 0) return T(0);
    T ret = T(1);
    r = min(r, n - r);
    for (int i = 1; i <= r; ++i) ret *= inv(i) * (n--);
    return ret;
  }

  T P(int n, int r) {
    if (n < 0 || n < r || r < 0) return T(0);
    return fac(n) * finv(n - r);
  }

  // [x^r] 1 / (1-x)^n
  T H(int n, int r) {
    if (n < 0 || r < 0) return T(0);
    return r == 0 ? 1 : C(n + r - 1, r);
  }
};
#line 5 "fps/sample-point-shift.hpp"

// input : y(0), y(1), ..., y(n - 1)
// output : y(t), y(t + 1), ..., y(t + m - 1)
// (if m is default, m = n)
template <typename mint>
FormalPowerSeries<mint> SamplePointShift(FormalPowerSeries<mint>& y, mint t,
                                         int m = -1) {
  if (m == -1) m = y.size();
  long long T = t.get();
  int k = (int)y.size() - 1;
  T %= mint::get_mod();
  if (T <= k) {
    FormalPowerSeries<mint> ret(m);
    int ptr = 0;
    for (int64_t i = T; i <= k and ptr < m; i++) {
      ret[ptr++] = y[i];
    }
    if (k + 1 < T + m) {
      auto suf = SamplePointShift<mint>(y, k + 1, m - ptr);
      for (int i = k + 1; i < T + m; i++) {
        ret[ptr++] = suf[i - (k + 1)];
      }
    }
    return ret;
  }
  if (T + m > mint::get_mod()) {
    auto pref = SamplePointShift<mint>(y, T, mint::get_mod() - T);
    auto suf = SamplePointShift<mint>(y, 0, m - pref.size());
    copy(begin(suf), end(suf), back_inserter(pref));
    return pref;
  }

  FormalPowerSeries<mint> finv(k + 1, 1), d(k + 1);
  for (int i = 2; i <= k; i++) finv[k] *= i;
  finv[k] = mint(1) / finv[k];
  for (int i = k; i >= 1; i--) finv[i - 1] = finv[i] * i;
  for (int i = 0; i <= k; i++) {
    d[i] = finv[i] * finv[k - i] * y[i];
    if ((k - i) & 1) d[i] = -d[i];
  }

  FormalPowerSeries<mint> h(m + k);
  for (int i = 0; i < m + k; i++) {
    h[i] = mint(1) / (T - k + i);
  }

  auto dh = d * h;

  FormalPowerSeries<mint> ret(m);
  mint cur = T;
  for (int i = 1; i <= k; i++) cur *= T - i;
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    ret[i] = cur * dh[k + i];
    cur *= T + i + 1;
    cur *= h[i];
  }
  return ret;
}
#line 5 "modulo/factorial.hpp"

template <typename mint>
mint factorial(int n) {
  if (n <= 1) return 1;
  using fps = FormalPowerSeries<mint>;
  long long v = 1;
  while(v * v < n) v *= 2;
  mint iv = mint(v).inverse();
  fps G{1, v + 1};
  for (long long d = 1; d != v; d <<= 1) {
    fps G1 = SamplePointShift(G, mint(d) * iv);
    fps G2 = SamplePointShift(G, mint(d * v + v) * iv);
    fps G3 = SamplePointShift(G, mint(d * v + d + v) * iv);
    for (int i = 0; i <= d; i++) G[i] *= G1[i], G2[i] *= G3[i];
    copy(begin(G2), end(G2) - 1, back_inserter(G));
  }
  mint res = 1;
  long long i = 0;
  while (i + v <= n) res *= G[i / v], i += v;
  while (i < n) res *= ++i;
  return res;
}

/**
 * @brief 階乗 $\mod p$
 * @docs docs/modulo/factorial.md
 */

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