$\sum_{i}a^i f(i)$
(fps/sum-of-exponential-times-poly.hpp)

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Last update: 2023-05-22 22:29:25+09:00
Include: #include "fps/sum-of-exponential-times-poly.hpp"

$\sum_{i}a^i f(i)$

問題

$k$次多項式$f(n)$に$f(0),f(1),\ldots,f(k)$を代入したものが与えられる。$\sum_{0\leq i \lt n}f(i)a^i$を求めよ。

出題例(codechef)

参考文献(Min氏のブログ)

概要

この問題は$\mathrm{mod}$を素数としたとき計算量$\mathrm{O}(N + \log \mathrm{mod})$で解くことが出来る。

以下の説明では、$f(t)$が$k$次の多項式であるとき、$f(t)$の母関数は$\frac{F(x)}{(1-x)^{k+1}}$と表せる事実を利用する。

(証明はニュートン基底$n_i(t)=t(t-1)\cdots(t-i+1)$の母関数が$\frac{i!x^i}{(1-x)^{i+1}}$と表されることが帰納的に示せることと、$f(t)$は$n_0(t)\ldots n_k(t)$の線形和で表せることから従う。)

数列$f(0)a^0, f(1)a^1, \ldots$の母関数は$k$次以下の多項式$G(x)$を用いて$\frac{G(x)}{(1-ax)^{k+1}}$と表せる。この時、求めたいものは

\[[x^{n-1}]\left(\frac{1}{1-x}\cdot \frac{G(x)}{(1-ax)^{k+1}}\right)\]

となる。上の式は定数$c$と$k$次以下の多項式$S(x)$を用いて

\[\frac{G(x)}{(1-x)(1-ax)^{k+1}}=\frac{c}{1-x}+\frac{S(x)}{(1-ax)^{k+1}}\]

と変形できるので、解は$k$次以下の多項式$t(n)$を用いて$c+a^nt(n)$と表せることがわかる。

次に$c$を具体的に求める。$c,G,S$の間には

\[G(x)=c(1-ax)^{k+1}+S(x)(1-x)\]

が成り立つ。多項式なので両辺に$x=1$を代入してもよく、

\[G(1)=c(1-a)^{k+1}\]

を得るので$G(1)$を求めればよい。$G(1)$は

\[G(x) = \left((1-ax)^{k+1}\sum_{i=0}^k f(i)(ax)^i \mod x^{k+1}\right)\]

の右辺を累積和と階乗の前計算を使って$\mathrm{O}(k)$で計算できる。

$c$が計算できたので、あとは多項式補間を使えば答えが求まる。具体的には、

\[t(i) = a^{-n}\cdot\left(-c + \sum_{j=0}^i f(i)a^i \right)\]

とおいて$t(0),t(1)\ldots t(k)$を計算した後、ラグランジュ補間で$t(n-1)$を$\mathrm{O}(k)$で計算すればよい。

(注：この解法では$a$と$1-a$の逆元が必要なため、$a=0,a=1$の時は場合分けして別に実装する。)

Depends on

modulo/binomial.hpp

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Code

#pragma once

#include "../modulo/binomial.hpp"

// given  : f(0)...f(k) (deg(f) = k), a, n
// return : sum_{i=0...n-1} a^i f(i)
template <typename mint>
mint sum_of_exp(const vector<mint>& f, mint a, long long n,
                Binomial<mint>& C) {
  if (n == 0) return mint(0);
  if (a == mint(0)) return f[0];
  if (a == mint(1)) {
    vector<mint> g(f.size() + 1, mint(0));
    for (int i = 1; i < (int)g.size(); i++) g[i] = g[i - 1] + f[i - 1];
    return lagrange_interpolation(g, n, C);
  }
  int K = f.size() - 1;
  vector<mint> g(f.size());
  mint buf = 1;
  for (int i = 0; i < (int)g.size(); i++) g[i] = f[i] * buf, buf *= a;
  for (int i = 1; i < (int)g.size(); i++) g[i] += g[i - 1];
  mint c = 0, buf2 = 1;
  for (int i = 0; i <= K; i++) c += C.C(K + 1, i) * buf2 * g[K - i], buf2 *= -a;
  c /= (-a + 1).pow(K + 1);
  mint buf3 = 1, ia = a.inverse();
  for (int i = 0; i < (int)g.size(); i++) g[i] = (g[i] - c) * buf3, buf3 *= ia;
  mint tn = lagrange_interpolation(g, n - 1, C);
  return tn * a.pow(n - 1) + c;
}

// given  : f(0)...f(k) (deg(f) = k), a
// return : sum_{i=0...infty} a^i f(i)
template <typename mint>
mint sum_of_exp_limit(const vector<mint>& f, mint a, Binomial<mint>& C) {
  if (a == mint(0)) return f[0];
  int K = f.size() - 1;
  vector<mint> g(f.size());
  mint buf = 1;
  for (int i = 0; i < (int)g.size(); i++) g[i] = f[i] * buf, buf *= a;
  for (int i = 1; i < (int)g.size(); i++) g[i] += g[i - 1];
  mint c = 0, buf2 = 1;
  for (int i = 0; i <= K; i++) c += C.C(K + 1, i) * buf2 * g[K - i], buf2 *= -a;
  c /= (-a + 1).pow(K + 1);
  return c;
}

// given  : p, n
// return : (0^p, 1^p, ... , n^p)
template <typename mint>
vector<mint> exp_enamurate(int p, int n) {
  vector<mint> f(n + 1, mint(0));
  if (!p) {
    f[0] = 1;
    return std::move(f);
  }
  f[1] = 1;
  vector<bool> sieve(n + 1, false);
  vector<int> ps;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (!sieve[i]) {
      f[i] = mint(i).pow(p);
      ps.push_back(i);
    }
    for (int j = 0; j < (int)ps.size() && i * ps[j] <= n; j++) {
      sieve[i * ps[j]] = 1;
      f[i * ps[j]] = f[i] * f[ps[j]];
      if (i % ps[j] == 0) break;
    }
  }
  return std::move(f);
}

// given  : d, r, n
// return : sum_{i=0...n-1} r^i i^d
template <typename mint>
mint sum_of_exp2(int d, mint r, long long n, Binomial<mint>& C) {
  vector<mint> f = exp_enamurate<mint>(d, d);
  return sum_of_exp(f, r, n, C);
}

// given  : d, r
// return : sum_{i=0...infty} r^i i^d
template <typename mint>
mint sum_of_exp_limit2(int d, mint r, Binomial<mint>& C) {
  vector<mint> f = exp_enamurate<mint>(d, d);
  return sum_of_exp_limit(f, r, C);
}

/**
 * @brief $\sum_{i}a^i f(i)$
 * @docs docs/fps/sum-of-exponential-times-poly.md
 */

#line 2 "fps/sum-of-exponential-times-poly.hpp"

#line 2 "modulo/binomial.hpp"

#include <cassert>
#include <type_traits>
#include <vector>
using namespace std;

// コンストラクタの MAX に 「C(n, r) や fac(n) でクエリを投げる最大の n 」
// を入れると倍速くらいになる
// mod を超えて前計算して 0 割りを踏むバグは対策済み
template <typename T>
struct Binomial {
  vector<T> f, g, h;
  Binomial(int MAX = 0) {
    assert(T::get_mod() != 0 && "Binomial<mint>()");
    f.resize(1, T{1});
    g.resize(1, T{1});
    h.resize(1, T{1});
    if (MAX > 0) extend(MAX + 1);
  }

  void extend(int m = -1) {
    int n = f.size();
    if (m == -1) m = n * 2;
    m = min<int>(m, T::get_mod());
    if (n >= m) return;
    f.resize(m);
    g.resize(m);
    h.resize(m);
    for (int i = n; i < m; i++) f[i] = f[i - 1] * T(i);
    g[m - 1] = f[m - 1].inverse();
    h[m - 1] = g[m - 1] * f[m - 2];
    for (int i = m - 2; i >= n; i--) {
      g[i] = g[i + 1] * T(i + 1);
      h[i] = g[i] * f[i - 1];
    }
  }

  T fac(int i) {
    if (i < 0) return T(0);
    while (i >= (int)f.size()) extend();
    return f[i];
  }

  T finv(int i) {
    if (i < 0) return T(0);
    while (i >= (int)g.size()) extend();
    return g[i];
  }

  T inv(int i) {
    if (i < 0) return -inv(-i);
    while (i >= (int)h.size()) extend();
    return h[i];
  }

  T C(int n, int r) {
    if (n < 0 || n < r || r < 0) return T(0);
    return fac(n) * finv(n - r) * finv(r);
  }

  inline T operator()(int n, int r) { return C(n, r); }

  template <typename I>
  T multinomial(const vector<I>& r) {
    static_assert(is_integral<I>::value == true);
    int n = 0;
    for (auto& x : r) {
      if (x < 0) return T(0);
      n += x;
    }
    T res = fac(n);
    for (auto& x : r) res *= finv(x);
    return res;
  }

  template <typename I>
  T operator()(const vector<I>& r) {
    return multinomial(r);
  }

  T C_naive(int n, int r) {
    if (n < 0 || n < r || r < 0) return T(0);
    T ret = T(1);
    r = min(r, n - r);
    for (int i = 1; i <= r; ++i) ret *= inv(i) * (n--);
    return ret;
  }

  T P(int n, int r) {
    if (n < 0 || n < r || r < 0) return T(0);
    return fac(n) * finv(n - r);
  }

  // [x^r] 1 / (1-x)^n
  T H(int n, int r) {
    if (n < 0 || r < 0) return T(0);
    return r == 0 ? 1 : C(n + r - 1, r);
  }
};
#line 4 "fps/sum-of-exponential-times-poly.hpp"

// given  : f(0)...f(k) (deg(f) = k), a, n
// return : sum_{i=0...n-1} a^i f(i)
template <typename mint>
mint sum_of_exp(const vector<mint>& f, mint a, long long n,
                Binomial<mint>& C) {
  if (n == 0) return mint(0);
  if (a == mint(0)) return f[0];
  if (a == mint(1)) {
    vector<mint> g(f.size() + 1, mint(0));
    for (int i = 1; i < (int)g.size(); i++) g[i] = g[i - 1] + f[i - 1];
    return lagrange_interpolation(g, n, C);
  }
  int K = f.size() - 1;
  vector<mint> g(f.size());
  mint buf = 1;
  for (int i = 0; i < (int)g.size(); i++) g[i] = f[i] * buf, buf *= a;
  for (int i = 1; i < (int)g.size(); i++) g[i] += g[i - 1];
  mint c = 0, buf2 = 1;
  for (int i = 0; i <= K; i++) c += C.C(K + 1, i) * buf2 * g[K - i], buf2 *= -a;
  c /= (-a + 1).pow(K + 1);
  mint buf3 = 1, ia = a.inverse();
  for (int i = 0; i < (int)g.size(); i++) g[i] = (g[i] - c) * buf3, buf3 *= ia;
  mint tn = lagrange_interpolation(g, n - 1, C);
  return tn * a.pow(n - 1) + c;
}

// given  : f(0)...f(k) (deg(f) = k), a
// return : sum_{i=0...infty} a^i f(i)
template <typename mint>
mint sum_of_exp_limit(const vector<mint>& f, mint a, Binomial<mint>& C) {
  if (a == mint(0)) return f[0];
  int K = f.size() - 1;
  vector<mint> g(f.size());
  mint buf = 1;
  for (int i = 0; i < (int)g.size(); i++) g[i] = f[i] * buf, buf *= a;
  for (int i = 1; i < (int)g.size(); i++) g[i] += g[i - 1];
  mint c = 0, buf2 = 1;
  for (int i = 0; i <= K; i++) c += C.C(K + 1, i) * buf2 * g[K - i], buf2 *= -a;
  c /= (-a + 1).pow(K + 1);
  return c;
}

// given  : p, n
// return : (0^p, 1^p, ... , n^p)
template <typename mint>
vector<mint> exp_enamurate(int p, int n) {
  vector<mint> f(n + 1, mint(0));
  if (!p) {
    f[0] = 1;
    return std::move(f);
  }
  f[1] = 1;
  vector<bool> sieve(n + 1, false);
  vector<int> ps;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (!sieve[i]) {
      f[i] = mint(i).pow(p);
      ps.push_back(i);
    }
    for (int j = 0; j < (int)ps.size() && i * ps[j] <= n; j++) {
      sieve[i * ps[j]] = 1;
      f[i * ps[j]] = f[i] * f[ps[j]];
      if (i % ps[j] == 0) break;
    }
  }
  return std::move(f);
}

// given  : d, r, n
// return : sum_{i=0...n-1} r^i i^d
template <typename mint>
mint sum_of_exp2(int d, mint r, long long n, Binomial<mint>& C) {
  vector<mint> f = exp_enamurate<mint>(d, d);
  return sum_of_exp(f, r, n, C);
}

// given  : d, r
// return : sum_{i=0...infty} r^i i^d
template <typename mint>
mint sum_of_exp_limit2(int d, mint r, Binomial<mint>& C) {
  vector<mint> f = exp_enamurate<mint>(d, d);
  return sum_of_exp_limit(f, r, C);
}

/**
 * @brief $\sum_{i}a^i f(i)$
 * @docs docs/fps/sum-of-exponential-times-poly.md
 */

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$\sum_{i}a^i f(i)$
(fps/sum-of-exponential-times-poly.hpp)

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$\sum_{i}a^i f(i)$ (fps/sum-of-exponential-times-poly.hpp)

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