関数の合成( $\mathrm{O}\left((N \log N)^{\frac{3}{2}}\right)$ )
(fps/fps-composition-old.hpp)

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Last update: 2024-03-23 07:13:55+09:00
Include: #include "fps/fps-composition-old.hpp"

関数の合成

形式的冪級数$P(x),Q(x)$(ただし$P_0 = 0$)に対して$Q(P) \mod x^{n}$を$\mathrm{O}(\left(n\log n\right)^{\frac{3}{2}})$で求めるライブラリ。

概要

まず、$P$を$P = P_m + P_r,\ \ P_r \equiv 0 \mod x^m$を満たす$P_m,P_r$に分けて考える。($m$は後で値を決める。)この時、テイラー展開の式

\[Q(P)=\sum_{i=0}^\infty\frac{Q^{(i)}(P_m)}{i!}(P-P_m)^i=\sum_{i=0}^\infty\frac{Q^{(i)}(P_m)}{i!}(P_r)^i\]

の前$\lfloor\frac{n}{m}\rfloor$次の項を計算できればよいので($P_r \equiv 0 \mod x$に留意する)、$Q^{(i)}(P),0 \leq i \leq \lfloor\frac{n}{m}\rfloor$を高速に列挙できればよい。

まず、$Q(P(x))\mod x^n$は$\deg(Q) = j$($j$は2冪)とした時

\[Q(P) = Q_1(P) + P^{\frac{j}{2}}\cdot Q_2(P)\]

を利用して再帰的に求めることで$\mathrm{O}(jm\log^2 n)$で計算できる。また、$Q^{(i)}(P_m)$は連鎖律$\frac{d}{dx}Q(P) = \frac{dP} {dx} \cdot \frac{dQ}{dP}$を利用して

\[Q^{(i)}{(P_m)} \equiv \frac{\left(Q^{(i-1)}{(P_m)}\right)'}{P_m'} \mod x^{n-i}\]

より$\mathrm{O}(\lfloor\frac{n}{m}\rfloor n \log n)$で列挙できる。(実装においては、$m \geq 2$かつ$P$の$2$次の係数が$0$の時に$\frac{1}{P_m’}$が定義されないコーナーケースを意識して適切に逆元を取る必要がある。)

最後にテイラー展開の式に基づいて足し合わせる部分も愚直に計算すると$\mathrm{O}(\lfloor\frac{n}{m}\rfloor n \log n)$で計算できる。

以上より$j = n$とすると$\mathrm{O}(nm\log^2 n + \lfloor\frac{n}{m}\rfloor n \log n)$で$Q(P(x))$を計算することが出来た。ここで$m = \sqrt{\frac{n} {\log n}}$とおくと$\mathrm{O}(\left(n\log n\right)^{\frac{3}{2}})$となる。

余談

実装してから思ったが、元の論文には行列積を使用した$O(\sqrt{N}\cdot T(\sqrt{N}))$($T(n)$は行列積のオーダー)のアルゴリズムも載っており、オーダーは実質2乗だがSIMDの利用などにより定数倍高速化が見込める。

$N \leq 8192$とすると、感覚的には解説したアルゴリズムよりも大きさ$100$の行列積$100回$の方が高速に動作する気がする…

$\rightarrow$実装したら3倍速かった実装

Depends on

Verified with

Code

#pragma once

#include "../modulo/binomial.hpp"
#include "./formal-power-series.hpp"

// find Q(P(x)) mod x ^ min(deg(P), deg(Q))
template <typename mint>
FormalPowerSeries<mint> Composition(FormalPowerSeries<mint> P,
                                    FormalPowerSeries<mint> Q,
                                    Binomial<mint>& C, int deg = -1) {
  using fps = FormalPowerSeries<mint>;
  int N = (deg == -1) ? min(P.size(), Q.size()) : deg;
  if (N == 0) return fps{};
  P.shrink();
  if (P.size() == 0) {
    fps R(N, mint(0));
    R[0] = Q.empty() ? mint(0) : Q[0];
    return R;
  }
  if (N == 1) return fps{Q.eval(P[0])};

  P.resize(N, mint(0));
  Q.resize(N, mint(0));
  int M = max<int>(2, sqrt(N / log2(N)));
  int L = (N + M - 1) / M;
  fps Pm = fps{begin(P), begin(P) + M};
  fps Pr = fps{begin(P) + M, end(P)};

  int J = 31 - __builtin_clz(N - 1) + 1;
  vector<fps> pms(J);
  pms[0] = Pm;
  for (int i = 1; i < J; i++) pms[i] = (pms[i - 1] * pms[i - 1]).pre(N);

  auto comp = [&](auto rec, int left, int j) -> fps {
    if (j == 1) {
      mint Q1 = left + 0 < (int)Q.size() ? Q[left + 0] : mint(0);
      mint Q2 = left + 1 < (int)Q.size() ? Q[left + 1] : mint(0);
      return (pms[0].pre(N) * Q2 + Q1).pre(N);
    }
    if (N <= left) return fps{};
    fps Q1 = rec(rec, left, j - 1);
    fps Q2 = rec(rec, left + (1 << (j - 1)), j - 1);
    return (Q1 + pms[j - 1].pre(N) * Q2).pre(N);
  };

  fps QPm = comp(comp, 0, J);
  fps R = QPm;
  fps pw_Pr{mint(1)};
  fps dPm = Pm.diff();
  dPm.shrink();
  // if dPm[0] == 0, dPm.inv() is undefined
  int deg_dPm = 0;
  while (deg_dPm != (int)dPm.size() && dPm[deg_dPm] == mint(0)) deg_dPm++;
  fps idPm = dPm.empty() ? fps{} : (dPm >> deg_dPm).inv(N);

  for (int l = 1, d = M; l <= L && d < N; l++, d += M) {
    pw_Pr = (pw_Pr * Pr).pre(N - d);
    if (dPm.empty()) {
      R += (pw_Pr * Q[l]) << d;
    } else {
      idPm.resize(N - d);
      QPm = ((QPm.diff() >> deg_dPm) * idPm).pre(N - d);
      R += ((QPm * pw_Pr).pre(N - d) * C.finv(l)) << d;
    };
  }
  R.resize(N, mint(0));
  return R;
}

/**
 * @brief 関数の合成( $\mathrm{O}\left((N \log N)^{\frac{3}{2}}\right)$ )
 * @docs docs/fps/fps-composition-old.md
 */

#line 2 "fps/fps-composition-old.hpp"

#line 2 "modulo/binomial.hpp"

#include <cassert>
#include <type_traits>
#include <vector>
using namespace std;

// コンストラクタの MAX に 「C(n, r) や fac(n) でクエリを投げる最大の n 」
// を入れると倍速くらいになる
// mod を超えて前計算して 0 割りを踏むバグは対策済み
template <typename T>
struct Binomial {
  vector<T> f, g, h;
  Binomial(int MAX = 0) {
    assert(T::get_mod() != 0 && "Binomial<mint>()");
    f.resize(1, T{1});
    g.resize(1, T{1});
    h.resize(1, T{1});
    if (MAX > 0) extend(MAX + 1);
  }

  void extend(int m = -1) {
    int n = f.size();
    if (m == -1) m = n * 2;
    m = min<int>(m, T::get_mod());
    if (n >= m) return;
    f.resize(m);
    g.resize(m);
    h.resize(m);
    for (int i = n; i < m; i++) f[i] = f[i - 1] * T(i);
    g[m - 1] = f[m - 1].inverse();
    h[m - 1] = g[m - 1] * f[m - 2];
    for (int i = m - 2; i >= n; i--) {
      g[i] = g[i + 1] * T(i + 1);
      h[i] = g[i] * f[i - 1];
    }
  }

  T fac(int i) {
    if (i < 0) return T(0);
    while (i >= (int)f.size()) extend();
    return f[i];
  }

  T finv(int i) {
    if (i < 0) return T(0);
    while (i >= (int)g.size()) extend();
    return g[i];
  }

  T inv(int i) {
    if (i < 0) return -inv(-i);
    while (i >= (int)h.size()) extend();
    return h[i];
  }

  T C(int n, int r) {
    if (n < 0 || n < r || r < 0) return T(0);
    return fac(n) * finv(n - r) * finv(r);
  }

  inline T operator()(int n, int r) { return C(n, r); }

  template <typename I>
  T multinomial(const vector<I>& r) {
    static_assert(is_integral<I>::value == true);
    int n = 0;
    for (auto& x : r) {
      if (x < 0) return T(0);
      n += x;
    }
    T res = fac(n);
    for (auto& x : r) res *= finv(x);
    return res;
  }

  template <typename I>
  T operator()(const vector<I>& r) {
    return multinomial(r);
  }

  T C_naive(int n, int r) {
    if (n < 0 || n < r || r < 0) return T(0);
    T ret = T(1);
    r = min(r, n - r);
    for (int i = 1; i <= r; ++i) ret *= inv(i) * (n--);
    return ret;
  }

  T P(int n, int r) {
    if (n < 0 || n < r || r < 0) return T(0);
    return fac(n) * finv(n - r);
  }

  // [x^r] 1 / (1-x)^n
  T H(int n, int r) {
    if (n < 0 || r < 0) return T(0);
    return r == 0 ? 1 : C(n + r - 1, r);
  }
};
#line 2 "fps/formal-power-series.hpp"

template <typename mint>
struct FormalPowerSeries : vector<mint> {
  using vector<mint>::vector;
  using FPS = FormalPowerSeries;

  FPS &operator+=(const FPS &r) {
    if (r.size() > this->size()) this->resize(r.size());
    for (int i = 0; i < (int)r.size(); i++) (*this)[i] += r[i];
    return *this;
  }

  FPS &operator+=(const mint &r) {
    if (this->empty()) this->resize(1);
    (*this)[0] += r;
    return *this;
  }

  FPS &operator-=(const FPS &r) {
    if (r.size() > this->size()) this->resize(r.size());
    for (int i = 0; i < (int)r.size(); i++) (*this)[i] -= r[i];
    return *this;
  }

  FPS &operator-=(const mint &r) {
    if (this->empty()) this->resize(1);
    (*this)[0] -= r;
    return *this;
  }

  FPS &operator*=(const mint &v) {
    for (int k = 0; k < (int)this->size(); k++) (*this)[k] *= v;
    return *this;
  }

  FPS &operator/=(const FPS &r) {
    if (this->size() < r.size()) {
      this->clear();
      return *this;
    }
    int n = this->size() - r.size() + 1;
    if ((int)r.size() <= 64) {
      FPS f(*this), g(r);
      g.shrink();
      mint coeff = g.back().inverse();
      for (auto &x : g) x *= coeff;
      int deg = (int)f.size() - (int)g.size() + 1;
      int gs = g.size();
      FPS quo(deg);
      for (int i = deg - 1; i >= 0; i--) {
        quo[i] = f[i + gs - 1];
        for (int j = 0; j < gs; j++) f[i + j] -= quo[i] * g[j];
      }
      *this = quo * coeff;
      this->resize(n, mint(0));
      return *this;
    }
    return *this = ((*this).rev().pre(n) * r.rev().inv(n)).pre(n).rev();
  }

  FPS &operator%=(const FPS &r) {
    *this -= *this / r * r;
    shrink();
    return *this;
  }

  FPS operator+(const FPS &r) const { return FPS(*this) += r; }
  FPS operator+(const mint &v) const { return FPS(*this) += v; }
  FPS operator-(const FPS &r) const { return FPS(*this) -= r; }
  FPS operator-(const mint &v) const { return FPS(*this) -= v; }
  FPS operator*(const FPS &r) const { return FPS(*this) *= r; }
  FPS operator*(const mint &v) const { return FPS(*this) *= v; }
  FPS operator/(const FPS &r) const { return FPS(*this) /= r; }
  FPS operator%(const FPS &r) const { return FPS(*this) %= r; }
  FPS operator-() const {
    FPS ret(this->size());
    for (int i = 0; i < (int)this->size(); i++) ret[i] = -(*this)[i];
    return ret;
  }

  void shrink() {
    while (this->size() && this->back() == mint(0)) this->pop_back();
  }

  FPS rev() const {
    FPS ret(*this);
    reverse(begin(ret), end(ret));
    return ret;
  }

  FPS dot(FPS r) const {
    FPS ret(min(this->size(), r.size()));
    for (int i = 0; i < (int)ret.size(); i++) ret[i] = (*this)[i] * r[i];
    return ret;
  }

  // 前 sz 項を取ってくる。sz に足りない項は 0 埋めする
  FPS pre(int sz) const {
    FPS ret(begin(*this), begin(*this) + min((int)this->size(), sz));
    if ((int)ret.size() < sz) ret.resize(sz);
    return ret;
  }

  FPS operator>>(int sz) const {
    if ((int)this->size() <= sz) return {};
    FPS ret(*this);
    ret.erase(ret.begin(), ret.begin() + sz);
    return ret;
  }

  FPS operator<<(int sz) const {
    FPS ret(*this);
    ret.insert(ret.begin(), sz, mint(0));
    return ret;
  }

  FPS diff() const {
    const int n = (int)this->size();
    FPS ret(max(0, n - 1));
    mint one(1), coeff(1);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      ret[i - 1] = (*this)[i] * coeff;
      coeff += one;
    }
    return ret;
  }

  FPS integral() const {
    const int n = (int)this->size();
    FPS ret(n + 1);
    ret[0] = mint(0);
    if (n > 0) ret[1] = mint(1);
    auto mod = mint::get_mod();
    for (int i = 2; i <= n; i++) ret[i] = (-ret[mod % i]) * (mod / i);
    for (int i = 0; i < n; i++) ret[i + 1] *= (*this)[i];
    return ret;
  }

  mint eval(mint x) const {
    mint r = 0, w = 1;
    for (auto &v : *this) r += w * v, w *= x;
    return r;
  }

  FPS log(int deg = -1) const {
    assert(!(*this).empty() && (*this)[0] == mint(1));
    if (deg == -1) deg = (int)this->size();
    return (this->diff() * this->inv(deg)).pre(deg - 1).integral();
  }

  FPS pow(int64_t k, int deg = -1) const {
    const int n = (int)this->size();
    if (deg == -1) deg = n;
    if (k == 0) {
      FPS ret(deg);
      if (deg) ret[0] = 1;
      return ret;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      if ((*this)[i] != mint(0)) {
        mint rev = mint(1) / (*this)[i];
        FPS ret = (((*this * rev) >> i).log(deg) * k).exp(deg);
        ret *= (*this)[i].pow(k);
        ret = (ret << (i * k)).pre(deg);
        if ((int)ret.size() < deg) ret.resize(deg, mint(0));
        return ret;
      }
      if (__int128_t(i + 1) * k >= deg) return FPS(deg, mint(0));
    }
    return FPS(deg, mint(0));
  }

  static void *ntt_ptr;
  static void set_fft();
  FPS &operator*=(const FPS &r);
  void ntt();
  void intt();
  void ntt_doubling();
  static int ntt_pr();
  FPS inv(int deg = -1) const;
  FPS exp(int deg = -1) const;
};
template <typename mint>
void *FormalPowerSeries<mint>::ntt_ptr = nullptr;

/**
 * @brief 多項式/形式的冪級数ライブラリ
 * @docs docs/fps/formal-power-series.md
 */
#line 5 "fps/fps-composition-old.hpp"

// find Q(P(x)) mod x ^ min(deg(P), deg(Q))
template <typename mint>
FormalPowerSeries<mint> Composition(FormalPowerSeries<mint> P,
                                    FormalPowerSeries<mint> Q,
                                    Binomial<mint>& C, int deg = -1) {
  using fps = FormalPowerSeries<mint>;
  int N = (deg == -1) ? min(P.size(), Q.size()) : deg;
  if (N == 0) return fps{};
  P.shrink();
  if (P.size() == 0) {
    fps R(N, mint(0));
    R[0] = Q.empty() ? mint(0) : Q[0];
    return R;
  }
  if (N == 1) return fps{Q.eval(P[0])};

  P.resize(N, mint(0));
  Q.resize(N, mint(0));
  int M = max<int>(2, sqrt(N / log2(N)));
  int L = (N + M - 1) / M;
  fps Pm = fps{begin(P), begin(P) + M};
  fps Pr = fps{begin(P) + M, end(P)};

  int J = 31 - __builtin_clz(N - 1) + 1;
  vector<fps> pms(J);
  pms[0] = Pm;
  for (int i = 1; i < J; i++) pms[i] = (pms[i - 1] * pms[i - 1]).pre(N);

  auto comp = [&](auto rec, int left, int j) -> fps {
    if (j == 1) {
      mint Q1 = left + 0 < (int)Q.size() ? Q[left + 0] : mint(0);
      mint Q2 = left + 1 < (int)Q.size() ? Q[left + 1] : mint(0);
      return (pms[0].pre(N) * Q2 + Q1).pre(N);
    }
    if (N <= left) return fps{};
    fps Q1 = rec(rec, left, j - 1);
    fps Q2 = rec(rec, left + (1 << (j - 1)), j - 1);
    return (Q1 + pms[j - 1].pre(N) * Q2).pre(N);
  };

  fps QPm = comp(comp, 0, J);
  fps R = QPm;
  fps pw_Pr{mint(1)};
  fps dPm = Pm.diff();
  dPm.shrink();
  // if dPm[0] == 0, dPm.inv() is undefined
  int deg_dPm = 0;
  while (deg_dPm != (int)dPm.size() && dPm[deg_dPm] == mint(0)) deg_dPm++;
  fps idPm = dPm.empty() ? fps{} : (dPm >> deg_dPm).inv(N);

  for (int l = 1, d = M; l <= L && d < N; l++, d += M) {
    pw_Pr = (pw_Pr * Pr).pre(N - d);
    if (dPm.empty()) {
      R += (pw_Pr * Q[l]) << d;
    } else {
      idPm.resize(N - d);
      QPm = ((QPm.diff() >> deg_dPm) * idPm).pre(N - d);
      R += ((QPm * pw_Pr).pre(N - d) * C.finv(l)) << d;
    };
  }
  R.resize(N, mint(0));
  return R;
}

/**
 * @brief 関数の合成( $\mathrm{O}\left((N \log N)^{\frac{3}{2}}\right)$ )
 * @docs docs/fps/fps-composition-old.md
 */

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関数の合成( $\mathrm{O}\left((N \log N)^{\frac{3}{2}}\right)$ )
(fps/fps-composition-old.hpp)